推导再平衡的有效性

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我说了很久的投资组合再平衡，有人就举出个案的反例来说再平衡的无效。这里我用数学作为工具来推导一下什么条件下再平衡有效，什么条件下再平衡无效。

假定A、B两个品种第一年等权，A的第一年涨幅X1，第二年涨幅X2，B的第一年涨幅Y1，第二年涨幅Y2。那么在不平衡的条件下，A的第二年年末的涨幅=（1+X1）（1+X2）-1，B的第二年年末的涨幅=（1+Y1）（1+Y2）-1，最终这个组合的涨幅=（（1+X1）（1+X2）-1+（1+Y1）（1+Y2）-1）/2=（X1+X2+Y1+Y2+X1X2+Y1Y2）/2。

而在再平衡的条件下，这个组合第一年的涨幅=（X1+Y1）/2，第二年的涨幅=（X2+Y2）/2，累计涨幅=（（X1+Y1）/2+1）（（X2+Y2）/2+1）-1=(（X1+Y1+2）(X2+Y2+2)-1)/4=（X1X2+X1Y2+2X1+X2Y1+Y1Y2+2Y1+2X2+2Y2)/4=（X1+X2+Y1+Y2）/2+(X1X2+Y1Y2+X1Y2+X2Y1)/4

要使得再平衡有效，就是要使得（X1+X2+Y1+Y2）/2+(X1X2+Y1Y2+X1Y2+X2Y1)/4>（X1+X2+Y1+Y2+X1X2+Y1Y2）/2，去掉两面相同的，就是要使得(X1X2+Y1Y2+X1Y2+X2Y1)/4> （X1X2+Y1Y2）/2，也就是要使得X1Y2+X2Y1>X1X2+Y1Y2,也就是说要使得（X1-Y1）>(Y2-X2)。

最终结论出来了，满足这个简单的不等式，再平衡就是有效的，反之就是无效的，这个公式背后是什么意思呢？（X1-Y1）>(Y2-X2)，其实就是说，如果A品种第一年表现超过B品种，那么第二年B品种的表现反超，再平衡就是有效的，反之就是无效的。

通过这个不等式还可以告诉我们，到底是年度再平衡好，还是季度或者月度再平衡好：如果价格回归是以月度为单位的，那么就是月度再平衡的好；如果是以季度为单位的，那么就是季度好；如果是以年度为单位的，那么就是年度好。

我们通过一个实例来验证一下推导的正确性，比如两个品种是沪深300指数（000300）和国债指数（000012）：

19年来沪深300指数涨了257.99，国债指数涨了122.46%，如果是等权不做再平衡，那么19年下来这个组合收益率就是这两者的平均值190.22%，但做了每年一次的再平衡，累计收益率就可以高达362.00%，不仅高于平均值，还高于最好的沪深300指数。

但其实再平衡也不是每年都有效的，比如我们看2006、2007两年，如果做再平衡，那么第一年组合收益率是61.58%，第二年是80.54%，2年累计是191.72%，但不做再平衡呢？沪深300在2年里的累计收益率是478.08%，国债指数是1.66%，最终是239.87%，不做再平衡远远超过了再平衡。如果用我们前面的公式来看，第一年A品种（沪深300）的涨幅（121.02%）远远超过B品种（国债）的涨幅（2.14%），但第二年B品种的涨幅（-0.47%）并没超过A品种（161.55%），所以这次再平衡无效。

如果A品种连续2年不如B品种，是否再平衡一样无效呢？我们看一下2010年2011年这两年，沪深300在这两年下跌了34.40%、国债上涨了7.39%。如果不做再平衡，那么这个组合在这两年累计的表现就是它们的平均值-13.50%，如果做再平衡，那么2010年是-4.65%、2011年是-10.48%，2年累计是-14.65%，再平衡还不如不平衡。其原因一样是因为第一年A（沪深300）品种不如B（国债），第二年还是A（沪深300）不如B（国债）。

1年1年的比较再平衡的有效性效率太低，而且也很难看到全貌，这里做的推导只是让大家更加明白再平衡的底层原理，实战中可以用相关性来判断，再excel中用correl函数可以计算出沪深300指数的每年涨幅和国债指数的每年涨幅的相关度是-54.93%，负相关非常好。这个函数的值是从-100%到100%，100%是完全相关，-100%是完全负相关，而0%是不相关。组合最好是用负相关的品种，相关度很大的品种失去了意义，比如沪深300和上证50，相关度在98%以上，做成组合效果不会好的。当然还有一个条件是这个品种长期向上。

书中自有黄金屋，数学真的是我们投资的好帮手。

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